حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d P}{d t} = P^{2} - 7 P + 12$ , $P (0) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12}$ .

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} (P^{2} - 7 P + 12)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $P^{2} - 7 P + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} (P^{2} - 7 P + 12)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} d P = 1 d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} d P = \int d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

حلّل $P^{2} - 7 P + 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $12$ ومجموعهما $- 7$ .

$- 4, - 3$

خطوة 2.2.1.1.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{1}{(P - 4) (P - 3)}$

خطوة 2.2.1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{P - 4}$

خطوة 2.2.1.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{P - 4} + \frac{B}{P - 3}$

خطوة 2.2.1.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(P - 4) (P - 3)$ .

$\frac{1 (P - 4) (P - 3)}{(P - 4) (P - 3)} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

خطوة 2.2.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $P - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (P - 4) (P - 3)}{(P - 4) (P - 3)} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

خطوة 2.2.1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (P - 3)}{P - 3} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

خطوة 2.2.1.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $P - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (P - 3)}{P - 3} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

خطوة 2.2.1.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

خطوة 2.2.1.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $P - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

خطوة 2.2.1.1.7.1.2

اقسِم $(A) (P - 3)$ على $1$ .

$1 = (A) (P - 3) + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

خطوة 2.2.1.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A P + A \cdot - 3 + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

خطوة 2.2.1.1.7.3

انقُل $- 3$ إلى يسار $A$ .

$1 = A P - 3 \cdot A + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

خطوة 2.2.1.1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $P - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A P - 3 A + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

خطوة 2.2.1.1.7.4.2

اقسِم $(B) (P - 4)$ على $1$ .

$1 = A P - 3 A + (B) (P - 4)$

خطوة 2.2.1.1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A P - 3 A + B P + B \cdot - 4$

خطوة 2.2.1.1.7.6

انقُل $- 4$ إلى يسار $B$ .

$1 = A P - 3 A + B P - 4 B$

خطوة 2.2.1.1.8

انقُل $- 3 A$ .

$1 = A P + B P - 3 A - 4 B$

خطوة 2.2.1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $P$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 2.2.1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $P$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 3 A - 4 B$

خطوة 2.2.1.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 4 B$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 4 B$

خطوة 2.2.1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $0 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 3 A - 4 B$

خطوة 2.2.1.3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = - B$

$1 = - 3 A - 4 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A - 4 B$

خطوة 2.2.1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = - 3 A - 4 B$ بـ $- B$ .

$1 = - 3 (- B) - 4 B$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.2.2.1

بسّط $- 3 (- B) - 4 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$1 = 3 B - 4 B$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.2.2.1.2

اطرح $4 B$ من $3 B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $1 = - B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.3.2

اقسِم كل حد في $- B = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $- B = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.3.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.3.2.2.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.3.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $- 1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = - B$ بـ $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

خطوة 2.2.1.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

خطوة 2.2.1.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = 1, B = - 1$

خطوة 2.2.1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{P - 4} + \frac{B}{P - 3}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{1}{P - 4} + \frac{- 1}{P - 3}$

خطوة 2.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{P - 4} - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{P - 4} d P + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

خطوة 2.2.3

لنفترض أن $u_{1} = P - 4$ . إذن $d u_{1} = d P$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

افترض أن $u_{1} = P - 4$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d P}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

أوجِد مشتقة $P - 4$ .

$\frac{d}{d P} [P - 4]$

خطوة 2.2.3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $P - 4$ بالنسبة إلى $P$ هو $\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 4]$ .

$\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 4]$

خطوة 2.2.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ هو $n P^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d P} [- 4]$

خطوة 2.2.3.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $P$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $P$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.3.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $P$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

خطوة 2.2.6

لنفترض أن $u_{2} = P - 3$ . إذن $d u_{2} = d P$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

افترض أن $u_{2} = P - 3$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d P}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1.1

أوجِد مشتقة $P - 3$ .

$\frac{d}{d P} [P - 3]$

خطوة 2.2.6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $P - 3$ بالنسبة إلى $P$ هو $\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 3]$ .

$\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 3]$

خطوة 2.2.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ هو $n P^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d P} [- 3]$

خطوة 2.2.6.1.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $P$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $P$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

خطوة 2.2.7

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

خطوة 2.2.8

بسّط.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

خطوة 2.2.9

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int d t$

خطوة 2.2.10

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $P - 4$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int d t$

خطوة 2.2.10.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $P - 3$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) + C_{3} = \int d t$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) + C_{3} = t + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) = t + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $P$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $P$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |})} = e^{t + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) = t + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{t + C} = \frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $P$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} = e^{t + C}$ .

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} = e^{t + C}$

خطوة 3.3.2

اضرب كلا الطرفين في $| P - 3 |$ .

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} | P - 3 | = e^{t + C} | P - 3 |$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| P - 3 |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} | P - 3 | = e^{t + C} | P - 3 |$

خطوة 3.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| P - 4 | = e^{t + C} | P - 3 |$

خطوة 3.3.4

أوجِد قيمة $P$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ .

$e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$

خطوة 3.3.4.2

اقسِم كل حد في $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ على $e^{t + C}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.1

اقسِم كل حد في $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ على $e^{t + C}$ .

$\frac{e^{t + C} | P - 3 |}{e^{t + C}} = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

خطوة 3.3.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{t + C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{t + C} | P - 3 |}{e^{t + C}} = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

خطوة 3.3.4.2.2.1.2

اقسِم $| P - 3 |$ على $1$ .

$| P - 3 | = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

خطوة 3.3.4.3

أعِد كتابة معادلة القيمة المطلقة في صورة أربع معادلات بدون أشرطة القيمة المطلقة.

$P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$- (P - 3) = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$- (P - 3) = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

خطوة 3.3.4.4

بعد التبسيط، ستجد معادلتين فريدتين فقط يتعين حلهما.

$P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

خطوة 3.3.4.5

أوجِد قيمة $P$ في $P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.1

اضرب كلا الطرفين في $e^{t + C}$ .

$(P - 3) e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

خطوة 3.3.4.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.2.1.1

بسّط $(P - 3) e^{t + C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$P e^{t + C} - 3 e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

خطوة 3.3.4.5.2.1.1.2

بسّط بالإبدال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.2.1.1.2.1

أعِد ترتيب $t$ و $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

خطوة 3.3.4.5.2.1.1.2.2

أعِد ترتيب $t$ و $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

خطوة 3.3.4.5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{t + C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

خطوة 3.3.4.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = P - 4$

خطوة 3.3.4.5.3

أوجِد قيمة $P$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.3.1

اطرح $P$ من كلا المتعادلين.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} - P = - 4$

خطوة 3.3.4.5.3.2

أضف $3 e^{C + t}$ إلى كلا المتعادلين.

$P e^{C + t} - P = - 4 + 3 e^{C + t}$

خطوة 3.3.4.5.3.3

أخرِج العامل $P$ من $P e^{C + t} - P$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.3.3.1

أخرِج العامل $P$ من $P e^{C + t}$ .

$P e^{C + t} - P = - 4 + 3 e^{C + t}$

خطوة 3.3.4.5.3.3.2

أخرِج العامل $P$ من $- P$ .

$P e^{C + t} + P \cdot - 1 = - 4 + 3 e^{C + t}$

خطوة 3.3.4.5.3.3.3

أخرِج العامل $P$ من $P e^{C + t} + P \cdot - 1$ .

$P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$

خطوة 3.3.4.5.3.4

اقسِم كل حد في $P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$ على $e^{C + t} - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.3.4.1

اقسِم كل حد في $P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$ على $e^{C + t} - 1$ .

$\frac{P (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

خطوة 3.3.4.5.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{C + t} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{P (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

خطوة 3.3.4.5.3.4.2.1.2

اقسِم $P$ على $1$ .

$P = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

خطوة 3.3.4.5.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.5.3.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$P = \frac{- 4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

خطوة 3.3.4.5.3.4.3.2

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$P = \frac{- 1 (4) + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

خطوة 3.3.4.5.3.4.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $3 e^{C + t}$ .

$P = \frac{- 1 (4) - (- 3 e^{C + t})}{e^{C + t} - 1}$

خطوة 3.3.4.5.3.4.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (4) - (- 3 e^{C + t})$ .

$P = \frac{- 1 (4 - 3 e^{C + t})}{e^{C + t} - 1}$

خطوة 3.3.4.5.3.4.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

خطوة 3.3.4.6

أوجِد قيمة $P$ في $P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.1

اضرب كلا الطرفين في $e^{t + C}$ .

$(P - 3) e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

خطوة 3.3.4.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.2.1.1

بسّط $(P - 3) e^{t + C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$P e^{t + C} - 3 e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

خطوة 3.3.4.6.2.1.1.2

بسّط بالإبدال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.2.1.1.2.1

أعِد ترتيب $t$ و $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

خطوة 3.3.4.6.2.1.1.2.2

أعِد ترتيب $t$ و $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

خطوة 3.3.4.6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.2.2.1

بسّط $- \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{t + C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.2.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ إلى بسط الكسر.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{- (P - 4)}{e^{t + C}} e^{t + C}$

خطوة 3.3.4.6.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{- (P - 4)}{e^{t + C}} e^{t + C}$

خطوة 3.3.4.6.2.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - (P - 4)$

خطوة 3.3.4.6.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - P - - 4$

خطوة 3.3.4.6.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - P + 4$

خطوة 3.3.4.6.3

أوجِد قيمة $P$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.3.1

أضف $P$ إلى كلا المتعادلين.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} + P = 4$

خطوة 3.3.4.6.3.2

أضف $3 e^{C + t}$ إلى كلا المتعادلين.

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

خطوة 3.3.4.6.3.3

أخرِج العامل $P$ من $P e^{C + t} + P$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.3.3.1

أخرِج العامل $P$ من $P e^{C + t}$ .

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

خطوة 3.3.4.6.3.3.2

ارفع $P$ إلى القوة $1$ .

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

خطوة 3.3.4.6.3.3.3

أخرِج العامل $P$ من $P^{1}$ .

$P e^{C + t} + P \cdot 1 = 4 + 3 e^{C + t}$

خطوة 3.3.4.6.3.3.4

أخرِج العامل $P$ من $P e^{C + t} + P \cdot 1$ .

$P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$

خطوة 3.3.4.6.3.4

اقسِم كل حد في $P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$ على $e^{C + t} + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.3.4.1

اقسِم كل حد في $P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$ على $e^{C + t} + 1$ .

$\frac{P (e^{C + t} + 1)}{e^{C + t} + 1} = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 3.3.4.6.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{C + t} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{P (e^{C + t} + 1)}{e^{C + t} + 1} = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 3.3.4.6.3.4.2.1.2

اقسِم $P$ على $1$ .

$P = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 3.3.4.6.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.3.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 3.3.4.7

اسرِد جميع الحلول.

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + C}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{t + C}$ بالصيغة $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{t}$ و $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة $e^{t + C}$ بالصيغة $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب $e^{t}$ و $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 4.7

أعِد ترتيب الحدود.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{t + C}}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 4.8

أعِد كتابة $e^{t + C}$ بالصيغة $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 4.9

أعِد ترتيب $e^{t}$ و $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} + 1}$

خطوة 4.10

أعِد ترتيب الحدود.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} + 1}$

خطوة 4.11

أعِد كتابة $e^{t + C}$ بالصيغة $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} + 1}$

خطوة 4.12

أعِد ترتيب $e^{t}$ و $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} + 1}$

خطوة 5

بما أن $P$ يساوي قيمة موجبة في الشرط الابتدائي $(0, 1)$ ، انظر فقط $P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$ لإيجاد $C$ . وعوّض بـ $0$ عن $t$ وبـ $1$ عن $P$ .

$1 = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} = 1$ .

$- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} = 1$

خطوة 6.2

اضرب كلا الطرفين في $e^{C} e^{0} - 1$ .

$- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

بسّط $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{C} e^{0} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- (4 - 3 e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

خطوة 6.3.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- (4 - 3 e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

خطوة 6.3.1.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (4 - 3 e^{C} e^{0}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

خطوة 6.3.1.1.2

اضرب $e^{C}$ في $e^{0}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

انقُل $e^{0}$ .

$- (4 - 3 (e^{0} e^{C})) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

خطوة 6.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- (4 - 3 e^{0 + C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

خطوة 6.3.1.1.2.3

أضف $0$ و $C$ .

$- (4 - 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

خطوة 6.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 \cdot 4 - (- 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

خطوة 6.3.1.1.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.4.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 - (- 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

خطوة 6.3.1.1.4.2

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$- 4 + 3 e^{C} = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط $1 (e^{C} e^{0} - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اضرب $e^{C} e^{0} - 1$ في $1$ .

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C} e^{0} - 1$

خطوة 6.3.2.1.2

اضرب $e^{C}$ في $e^{0}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C + 0} - 1$

خطوة 6.3.2.1.2.2

أضف $C$ و $0$ .

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C} - 1$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

اطرح $e^{C}$ من كلا المتعادلين.

$- 4 + 3 e^{C} - e^{C} = - 1$

خطوة 6.4.1.2

اطرح $e^{C}$ من $3 e^{C}$ .

$- 4 + 2 e^{C} = - 1$

خطوة 6.4.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$2 e^{C} = - 1 + 4$

خطوة 6.4.2.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$2 e^{C} = 3$

خطوة 6.4.3

اقسِم كل حد في $2 e^{C} = 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

اقسِم كل حد في $2 e^{C} = 3$ على $2$ .

$\frac{2 e^{C}}{2} = \frac{3}{2}$

خطوة 6.4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 e^{C}}{2} = \frac{3}{2}$

خطوة 6.4.3.2.1.2

اقسِم $e^{C}$ على $1$ .

$e^{C} = \frac{3}{2}$

خطوة 6.4.4

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{C}) = \ln (\frac{3}{2})$

خطوة 6.4.5

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.5.1

وسّع $\ln (e^{C})$ بنقل $C$ خارج اللوغاريتم.

$C \ln (e) = \ln (\frac{3}{2})$

خطوة 6.4.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$C \cdot 1 = \ln (\frac{3}{2})$

خطوة 6.4.5.3

اضرب $C$ في $1$ .

$C = \ln (\frac{3}{2})$

خطوة 7

عوّض بـ $\ln (\frac{3}{2})$ عن $C$ في $P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $\ln (\frac{3}{2})$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t})}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

خطوة 7.2

اضرب $e^{\ln (\frac{3}{2})}$ في $e^{t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

انقُل $e^{t}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{t} e^{\ln (\frac{3}{2})})}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

خطوة 7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + \ln (\frac{3}{2})}}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

خطوة 7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + \ln (\frac{3}{2})}}{e^{\ln (\frac{3}{2}) + t} - 1}$