حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

خطوة 1

أضف $2 t y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 t d t}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int t d t}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

خطوة 2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

خطوة 2.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{1 t^{2} + C}$

خطوة 2.2.3.2.3

اضرب $t^{2}$ في $1$ .

$e^{t^{2} + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{t^{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{t^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

خطوة 3.4

اضرب $e^{t^{2}}$ في $e^{- t^{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $e^{- t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

خطوة 3.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

خطوة 3.4.3

أضف $- t^{2}$ و $t^{2}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

خطوة 3.5

بسّط $4 e^{0}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

خطوة 3.6

أعِد ترتيب العوامل في $e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ على $e^{t^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ على $e^{t^{2}}$ .

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{t^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

خطوة 9

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $3$ عن $y$ في $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ .

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ .

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

خطوة 10.2

بسّط $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

خطوة 10.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.2.1

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

خطوة 10.2.1.2.2

أضف $0$ و $C$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

خطوة 10.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

خطوة 10.2.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{C}{1} = 3$

خطوة 10.2.3

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = 3$

خطوة 11

عوّض بـ $3$ عن $C$ في $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $3$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$