حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d s}{d t} = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 5$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d s = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d s = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $28$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $28$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

خطوة 2.3.2

وسّع ${(7 t^{2} - 5)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2})}^{3} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} {(7 t^{2})}^{2} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

خطوة 2.3.2.3

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

خطوة 2.3.2.4

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

خطوة 2.3.2.5

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) + {(- 5)}^{3} d t$

خطوة 2.3.2.6

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 {(- 5)}^{2} d t$

خطوة 2.3.2.7

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

خطوة 2.3.2.8

انقُل $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

خطوة 2.3.2.9

انقُل الأقواس.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

خطوة 2.3.2.10

انقُل الأقواس.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

خطوة 2.3.2.11

انقُل $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

خطوة 2.3.2.12

انقُل $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

خطوة 2.3.2.13

انقُل الأقواس.

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

خطوة 2.3.2.14

انقُل الأقواس.

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

خطوة 2.3.2.15

انقُل $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} \cdot - 5 t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

خطوة 2.3.2.16

انقُل $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

خطوة 2.3.2.17

انقُل $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

خطوة 2.3.2.18

اضرب $7$ في $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 49 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.19

اضرب $49$ في $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.20

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2 + 2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.21

أضف $2$ و $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.22

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.23

أضف $4$ و $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.24

اضرب $3$ في $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 21 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.25

اضرب $21$ في $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 147 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.26

اضرب $147$ في $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.27

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.28

أضف $2$ و $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.29

اضرب $3$ في $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 21 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.30

اضرب $21$ في $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} - 105 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.31

اضرب $- 105$ في $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.32

اضرب $- 5$ في $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} + 25 \cdot - 5 d t$

خطوة 2.3.2.33

اضرب $25$ في $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 125 d t$

خطوة 2.3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$s + C_{1} = 28 (\int 343 t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

خطوة 2.3.4

بما أن $343$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $343$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 28 (343 \int t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{6}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{7} t^{7}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

خطوة 2.3.6

بما أن $- 735$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 735$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 \int t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

خطوة 2.3.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{4}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

خطوة 2.3.8

بما أن $525$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $525$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 \int t^{2} d t + \int - 125 d t)$

خطوة 2.3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) + \int - 125 d t)$

خطوة 2.3.10

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

خطوة 2.3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.1

اجمع $\frac{1}{7}$ و $t^{7}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

خطوة 2.3.11.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $t^{5}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

خطوة 2.3.11.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $t^{3}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{t^{3}}{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

خطوة 2.3.11.2

بسّط.

$s + C_{1} = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $t$ وبـ $5$ عن $s$ في $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ .

$5 = 28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$ .

$28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$28 (49 \cdot 1 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $49$ في $1$ .

$28 (49 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

خطوة 4.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$28 (49 - 147 \cdot 1 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- 147$ في $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

خطوة 4.2.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1 - 125 \cdot 1) + K = 5$

خطوة 4.2.1.6

اضرب $175$ في $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 - 125 \cdot 1) + K = 5$

خطوة 4.2.1.7

اضرب $- 125$ في $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 - 125) + K = 5$

خطوة 4.2.2

اطرح $147$ من $49$ .

$28 (- 98 + 175 - 125) + K = 5$

خطوة 4.2.3

أضف $- 98$ و $175$ .

$28 (77 - 125) + K = 5$

خطوة 4.2.4

اطرح $125$ من $77$ .

$28 \cdot - 48 + K = 5$

خطوة 4.2.5

اضرب $28$ في $- 48$ .

$- 1344 + K = 5$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $1344$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 5 + 1344$

خطوة 4.3.2

أضف $5$ و $1344$ .

$K = 1349$

خطوة 5

عوّض بـ $1349$ عن $K$ في $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $1349$ .

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + 1349$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$s = 28 (49 t^{7}) + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

خطوة 5.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اضرب $49$ في $28$ .

$s = 1372 t^{7} + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $- 147$ في $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

خطوة 5.2.2.3

اضرب $175$ في $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} + 28 (- 125 t) + 1349$

خطوة 5.2.2.4

اضرب $- 125$ في $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} - 3500 t + 1349$