حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = 5 x^{4} e^{x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} - 4 y = 5 x^{4} e^{x}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

خطوة 1.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $5 x^{4} e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x^{1}}$

خطوة 1.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{3} e^{x}}{1}$

خطوة 1.3.2.5

اقسِم $5 x^{3} e^{x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = 5 x^{3} e^{x}$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- 4 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 4}{x} = 5 x^{3} e^{x}$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 4}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4}{x} y = 5 x^{3} e^{x}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{- 4}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 4}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{- 4}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

خطوة 2.2.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 2.2.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 4 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 4})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 4}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{4}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

خطوة 3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{4}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

خطوة 3.2.5

اضرب $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $\frac{4 y}{x}$ في $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

خطوة 3.2.5.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

خطوة 3.2.5.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

خطوة 3.2.5.2.2

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = 5 \frac{1}{x^{4}} (x^{3} e^{x})$

خطوة 3.4

اجمع $5$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{4}} (x^{3} e^{x})$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} e^{x})$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{3} e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} (e^{x}))$

خطوة 3.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} e^{x})$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x} e^{x}$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{5}{x}$ و $e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5 e^{x}}{x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = \frac{5 e^{x}}{x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int \frac{5 e^{x}}{x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{4}} y = \int \frac{5 e^{x}}{x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 \int \frac{e^{x}}{x} d x$

خطوة 7.2

$\int \frac{e^{x}}{x} d x$ هو تكامل خاص. التكامل هو دالة التكامل الأُسي.

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 (E i (x) + C)$

خطوة 7.3

بسّط.

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 E i (x) + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{x^{4}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{4}} = 5 E i x + C$

خطوة 8.2

اضرب كلا الطرفين في $x^{4}$ .

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (5 E i x + C) x^{4}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (5 E i x + C) x^{4}$

خطوة 8.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (5 E i x + C) x^{4}$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

بسّط $(5 E i x + C) x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 5 E i x \cdot x^{4} + C x^{4}$

خطوة 8.3.2.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.1

انقُل $x^{4}$ .

$y = 5 E i (x^{4} x) + C x^{4}$

خطوة 8.3.2.1.2.2

اضرب $x^{4}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = 5 E i (x^{4} x^{1}) + C x^{4}$

خطوة 8.3.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = 5 E i x^{4 + 1} + C x^{4}$

خطوة 8.3.2.1.2.3

أضف $4$ و $1$ .

$y = 5 E i x^{5} + C x^{4}$

خطوة 8.3.2.1.3

انقُل $i$ .

$y = 5 E x^{5} i + C x^{4}$

خطوة 8.3.2.1.4

انقُل $E$ .

$y = 5 x^{5} E i + C x^{4}$