حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y \frac{d y}{d x} + 3 = 0$ , $f (2) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ على $x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ على $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{x y}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x y}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

خطوة 1.4.2

اضرب $\frac{3}{x}$ في $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3}{x y}$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{x y}$

خطوة 1.4.3.2

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

خطوة 1.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

خطوة 1.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = - \frac{3}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - 3 \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (- 3 \ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |)) + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $- 3$ في $2$ .

$y^{2} = - 6 \ln (| x |) + 2 C$

خطوة 3.3

بسّط $- 6 \ln (| x |)$ بنقل $6$ داخل اللوغاريتم.

$y^{2} = - \ln ({| x |}^{6}) + 2 C$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{6}) + 2 C}$

خطوة 3.5

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{6}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \pm \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

خطوة 3.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

خطوة 3.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

خطوة 3.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

خطوة 5

بما أن $y$ يساوي قيمة موجبة في الشرط الابتدائي $(2, 1)$ ، انظر فقط $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ لإيجاد $C$ . وعوّض بـ $2$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ .

$1 = \sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$ .

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$

خطوة 6.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}}^{2} = 1^{2}$

خطوة 6.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$ في صورة ${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{1} = 1^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

${(- \ln (64) + C)}^{1} = 1^{2}$

خطوة 6.3.2.1.3

بسّط.

$- \ln (64) + C = 1^{2}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \ln (64) + C = 1$

خطوة 6.4

أضف $\ln (64)$ إلى كلا المتعادلين.

$C = 1 + \ln (64)$

خطوة 7

عوّض بـ $1 + \ln (64)$ عن $C$ في $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $1 + \ln (64)$ .

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 1 + \ln (64)}$