حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ ${(y - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = y - 1$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = y - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $- u^{- 1} + C_{1}$ بالصيغة $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y - 1, 1, 1$

خطوة 3.1.2

احذِف الأقواس.

$y - 1, 1, 1$

خطوة 3.1.3

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$y - 1$

خطوة 3.2

اضرب كل حد في $- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ في $y - 1$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ في $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y - 1}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

خطوة 3.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

خطوة 3.2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 = \ln (| x |) y + \ln (| x |) \cdot - 1 + C (y - 1)$

خطوة 3.2.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $\ln (| x |)$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - 1 \cdot \ln (| x |) + C (y - 1)$

خطوة 3.2.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 \ln (| x |)$ بالصيغة $- \ln (| x |)$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C (y - 1)$

خطوة 3.2.3.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y + C \cdot - 1$

خطوة 3.2.3.1.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $C$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - 1 \cdot C$

خطوة 3.2.3.1.6

أعِد كتابة $- 1 C$ بالصيغة $- C$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$

خطوة 3.2.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$ .

$- 1 = y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C$

خطوة 3.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$ .

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) = - C y + C - 1$

خطوة 3.3.3

أضف $C y$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y = C - 1$

خطوة 3.3.4

أضف $\ln (| x |)$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (| x |) + C y = C - 1 + \ln (| x |)$

خطوة 3.3.5

أخرِج العامل $y$ من $y \ln (| x |) + C y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أخرِج العامل $y$ من $C y$ .

$y \ln (| x |) + y C = C - 1 + \ln (| x |)$

خطوة 3.3.5.2

أخرِج العامل $y$ من $y \ln (| x |) + y C$ .

$y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$

خطوة 3.3.6

اقسِم كل حد في $y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ على $\ln (| x |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

اقسِم كل حد في $y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ على $\ln (| x |) + C$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

خطوة 3.3.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (| x |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

خطوة 3.3.6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

خطوة 3.3.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} - \frac{1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

خطوة 3.3.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{C - 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

خطوة 3.3.6.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{C - 1 + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$