حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$7 x - 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $7 x$ من كلا المتعادلين.

$- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$ على $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$ على $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.1.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.1.2.2.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.1.2.3.2

اضرب $\frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.1.2.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.3.1

اضرب $\frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1.1.2.3.3.2

انقُل $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

خطوة 1.1.2.3.3.3

ارفع $\sqrt{x^{2} + 1}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

خطوة 1.1.2.3.3.4

ارفع $\sqrt{x^{2} + 1}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

خطوة 1.1.2.3.3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.1.2.3.3.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.3.7

أعِد كتابة ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ بالصيغة $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.3.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 1}$ في صورة ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3.3.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.1.2.3.3.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.1.2.3.3.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.3.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.1.2.3.3.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{1}}$

خطوة 1.1.2.3.3.7.5

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y (x^{2} + 1)}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{8 (x^{2} + 1) y}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $y$ من $8 (x^{2} + 1) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (8 (x^{2} + 1))}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (8 (x^{2} + 1))}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{8 (x^{2} + 1)}$

خطوة 1.4.3

اضرب $7$ في $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{7}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{7}{8}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.2.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{u}}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{7}{8}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{2 \cdot 8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

خطوة 2.3.5.1.2

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

خطوة 2.3.5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

خطوة 2.3.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.1

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.3.2

اضرب $u$ في $u^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.2.1

اضرب $u$ في $u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.2.1.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.3.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.3.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.3.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.4.1

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3.5.4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.5.4.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.5.4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $\frac{7}{16} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{7}{16} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اجمع $\frac{7}{16}$ و $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7 \cdot 2}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اضرب $7$ في $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{14}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $14$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $14$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (7)}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{7}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$