حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (4.5) (\sec^{2} (x)) (\tan (x))$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

المشتق الأول يساوي تكامل المشتق الثاني بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int (4.5) (\sec^{2} (x)) (\tan (x)) d x$

خطوة 1.2

اضرب $4.5$ في $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 4.5 \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

خطوة 1.3

بما أن $4.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4.5$ خارج التكامل.

$\frac{d y}{d x} = 4.5 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

خطوة 1.4

لنفترض أن $u = \sec (x)$ . إذن $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

افترض أن $u = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 1.4.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{d y}{d x} = 4.5 \int u d u$

خطوة 1.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4.5 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أعِد كتابة $4.5 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ بالصيغة $4.5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4.5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{1}$

خطوة 1.6.2

اجمع $4.5$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4.5}{2} u^{2} + C_{1}$

خطوة 1.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4.5}{2} \sec^{2} (x) + C_{1}$

خطوة 1.8

اقسِم $4.5$ على $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (2.25 \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = \int 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{2} = \int 2.25 \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.2

بما أن $2.25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2.25$ خارج التكامل.

$y + C_{2} = 2.25 \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.3

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$y + C_{2} = 2.25 (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = 2.25 (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

خطوة 3.3.5

بسّط.

$y + C_{2} = 2.25 \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

خطوة 3.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{2} = C_{1} x + 2.25 \tan (x) + C_{5}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = C x + 2.25 \tan (x) + D$