حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{5 x + 1}$ , $y (3) = - 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \sqrt{5 x + 1} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = 5 x + 1$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = 5 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.1.1.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 + 0$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أضف $5$ و $0$ .

$5$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 2.3.4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.6.2.2

اضرب $5$ في $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $3$ عن $x$ وبـ $- 2$ عن $y$ في $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$- 2 = \frac{2}{15} {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(15 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

خطوة 4.2.2

أضف $15$ و $1$ .

$\frac{2}{15} \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

خطوة 4.2.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

خطوة 4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

خطوة 4.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{3} + K = - 2$

خطوة 4.2.6

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot 64 + K = - 2$

خطوة 4.2.7

اضرب $\frac{2}{15} \cdot 64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

اجمع $\frac{2}{15}$ و $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{15} + K = - 2$

خطوة 4.2.7.2

اضرب $2$ في $64$ .

$\frac{128}{15} + K = - 2$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $\frac{128}{15}$ من كلا المتعادلين.

$K = - 2 - \frac{128}{15}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{15}{15}$ .

$K = - 2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

خطوة 4.3.3

اجمع $- 2$ و $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{- 2 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{- 2 \cdot 15 - 128}{15}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $- 2$ في $15$ .

$K = \frac{- 30 - 128}{15}$

خطوة 4.3.5.2

اطرح $128$ من $- 30$ .

$K = \frac{- 158}{15}$

خطوة 4.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$K = - \frac{158}{15}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{158}{15}$ عن $K$ في $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- \frac{158}{15}$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{158}{15}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{2}{15}$ و ${(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{158}{15}$

خطوة 5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158}{15}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $2$ من $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - 158}{15}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 158$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79}{15}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 79)}{15}$