حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ من كلا المتعادلين.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

خطوة 1.2

أعِد الكتابة.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

خطوة 2.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y \ln (\frac{x}{y})$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \ln (y)$ و $g (y) = \frac{x}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.5.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.6

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.7

اضرب $\frac{y}{x}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.8

اجمع $\frac{y}{x}$ و $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.9

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.10

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.12

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.13

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x}{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.14

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

اجمع $x$ و $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.14.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.14.2.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.14.3

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.16

اضرب $y^{2}$ في $y^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1

انقُل $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.16.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.16.3

أضف $- 2$ و $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.17

بسّط $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.18

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

خطوة 2.19

اضرب $\ln (\frac{x}{y})$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

خطوة 2.20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.20.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 2.20.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1 - \ln (\frac{x}{y})$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $1 - \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 5.3.2.3

اضرب $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 5.3.2.3.2

اضرب $\ln (\frac{x}{y})$ في $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 5.3.2.4

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 5.3.2.5

أضف $0$ و $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 5.3.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

خطوة 5.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (\frac{x}{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

خطوة 5.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- y}$

خطوة 5.3.5

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

خطوة 5.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{y}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 6.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 6.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

خطوة 6.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط $- \ln (| y |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

خطوة 6.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- y (\ln (x) - \ln (y))$ في $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

خطوة 7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

خطوة 7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

خطوة 7.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

خطوة 7.4

أعِد كتابة $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ بالصيغة $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

خطوة 7.5

اضرب $x$ في $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 7.6

اجمع $x$ و $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \frac{x}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 9.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

خطوة 9.3

بسّط.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 12

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أعِد الكتابة.

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

خطوة 13.1.2

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1

اطرح $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ من كلا المتعادلين.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

خطوة 13.1.2.2

أعِد الكتابة.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

خطوة 13.1.3

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

خطوة 13.1.3.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

خطوة 13.1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y \ln (\frac{x}{y})$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

خطوة 13.1.3.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.5

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.5.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.6

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.7

اضرب $\frac{y}{x}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.8

اجمع $\frac{y}{x}$ و $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.9

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.10

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.12

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.13

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x}{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.14

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.14.1

اجمع $x$ و $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.14.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.14.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.14.2.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.14.3

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.16

اضرب $y^{2}$ في $y^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.16.1

انقُل $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.16.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.16.3

أضف $- 2$ و $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.17

بسّط $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 13.1.3.18

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

خطوة 13.1.3.19

اضرب $\ln (\frac{x}{y})$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

خطوة 13.1.3.20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.20.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 13.1.3.20.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 13.1.4

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.4.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 13.1.5

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.5.1

عوّض بـ $1 - \ln (\frac{x}{y})$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

خطوة 13.1.5.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 13.1.6

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.6.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 13.1.6.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $1 - \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

خطوة 13.1.6.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.6.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 13.1.6.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.6.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 13.1.6.3.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 13.1.6.3.2.3

اضرب $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.6.3.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 13.1.6.3.2.3.2

اضرب $\ln (\frac{x}{y})$ في $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 13.1.6.3.2.4

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 13.1.6.3.2.5

أضف $0$ و $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

خطوة 13.1.6.3.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

خطوة 13.1.6.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (\frac{x}{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.6.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

خطوة 13.1.6.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- y}$

خطوة 13.1.6.3.5

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.6.3.5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

خطوة 13.1.6.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{y}$

خطوة 13.1.6.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

خطوة 13.1.7

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 13.1.7.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 13.1.7.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

خطوة 13.1.7.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.7.4.1

بسّط $- \ln (| y |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

خطوة 13.1.7.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

خطوة 13.1.7.4.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

خطوة 13.1.8

اضرب كلا طرفي $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.8.1

اضرب $- y (\ln (x) - \ln (y))$ في $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

خطوة 13.1.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.8.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

خطوة 13.1.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

خطوة 13.1.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

خطوة 13.1.8.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

خطوة 13.1.8.4

أعِد كتابة $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ بالصيغة $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

خطوة 13.1.8.5

اضرب $x$ في $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 13.1.8.6

اجمع $x$ و $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

خطوة 13.1.9

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

خطوة 13.1.10

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \frac{x}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.10.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 13.1.10.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

خطوة 13.1.10.3

بسّط.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

خطوة 13.1.11

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

خطوة 13.1.12

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 13.1.13

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.13.1

بسّط $\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.13.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $d$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.13.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 13.1.13.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 13.1.13.1.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $x \ln (| y |) + g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 13.1.13.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \ln (| y |) + g x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.13.1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x \ln (| y |)$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 13.1.13.1.3.2

أخرِج العامل $x$ من $g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 13.1.13.1.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x \ln (| y |) + x g$ .

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 13.1.13.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.13.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 13.1.13.1.4.2

اقسِم $\ln (| y |) + g$ على $1$ .

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

خطوة 13.1.14

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

خطوة 13.1.15

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

خطوة 13.1.16

اجمع $| y |$ و $\frac{x}{y}$ .

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

خطوة 13.1.17

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (\frac{| y | x}{y})$ .

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $- g$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ .

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ .

$g (x) = \int - g d x$

خطوة 14.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = - g x + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$