حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ , $y (1) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

خطوة 1.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x^{1}}$

خطوة 1.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x}{1}$

خطوة 1.3.2.5

اقسِم $4 x$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 4 x$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $y$ من $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = 4 x$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 4 x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{2}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (4 x)$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (4 x)$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (4 x)$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{2} x$

خطوة 3.4

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x \cdot x^{2})$

خطوة 3.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x^{1} x^{2})$

خطوة 3.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{1 + 2}$

خطوة 3.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{3}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 4 x^{3}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 4 x^{3} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{2} y = \int 4 x^{3} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$x^{2} y = 4 \int x^{3} d x$

خطوة 7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

خطوة 7.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أعِد كتابة $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ بالصيغة $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

خطوة 7.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

خطوة 7.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

خطوة 7.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} y = 1 x^{4} + C$

خطوة 7.3.2.3

اضرب $x^{4}$ في $1$ .

$x^{2} y = x^{4} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x^{2} y = x^{4} + C$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y = x^{4} + C$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3.1.2.4

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 9

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$0 = 1^{2} + \frac{C}{1^{2}}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$ .

$1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + \frac{C}{1^{2}} = 0$

خطوة 10.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + \frac{C}{1} = 0$

خطوة 10.2.3

اقسِم $C$ على $1$ .

$1 + C = 0$

خطوة 10.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$C = - 1$

خطوة 11

عوّض بـ $- 1$ عن $C$ في $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $- 1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 1}{x^{2}}$

خطوة 11.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$