حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y \cos (x) + 2 x e^{y}) d x + (\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y \cos (x) + 2 x e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) + 2 x e^{y}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y \cos (x) + 2 x e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $\cos (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y \cos (x)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ هو $a^{y} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.4.3

انقُل $2$ إلى يسار $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + 0$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $\cos (x) + 2 e^{y} x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x$

خطوة 2.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

خطوة 2.6.3

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x e^{y} + \cos (x)$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x e^{y} + \cos (x)$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1 d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int \sin (x) d y + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

خطوة 5.3

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} \int e^{y} d y + \int - 1 d y$

خطوة 5.4

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) + \int - 1 d y$

خطوة 5.5

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) - y + C$

خطوة 5.6

بسّط.

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\sin (x) y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 8.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 8.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بما أن $e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 8.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 8.4.3

انقُل $2$ إلى يسار $e^{y}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 8.5

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 8.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 8.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

أضف $y \cos (x) + 2 e^{y} x$ و $0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 8.7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 8.7.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $y \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x)$

خطوة 9.1.2

اطرح $2 x e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$

خطوة 9.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

اطرح $y \cos (x)$ من $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + 0 - 2 x e^{y}$

خطوة 9.1.3.2

أضف $2 x e^{y}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} - 2 x e^{y}$

خطوة 9.1.3.3

اطرح $2 x e^{y}$ من $2 x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

خطوة 10.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g (x) = 0 + C$

خطوة 10.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (x) = C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$ .

$f (x, y) = y \sin (x) + x^{2} e^{y} - y + C$