حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{4 x}{9 y})$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{4 x}{9 y}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{9 y}$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $y$ من $9 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

خطوة 1.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

خطوة 1.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = - \frac{4 x}{9} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int - \frac{4 x}{9} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{9} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{9} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{4}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{4}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{4}{9} \int x d x)$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $- \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{18} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 (2)}{18} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{9} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{2}{9} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{2}{9}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9} + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

اضرب $2 (- \frac{2 x^{2}}{9})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{2 x^{2}}{9} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اجمع $- 2$ و $\frac{2 x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 (2 x^{2})}{9} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y^{2} = \frac{- 4 x^{2}}{9} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = - \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- \frac{4 x^{2}}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)}$

خطوة 3.4.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

خطوة 3.4.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اجمع $K$ و $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

خطوة 3.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + K \cdot 9}{9}}$

خطوة 3.4.4

انقُل $9$ إلى يسار $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}}$

خطوة 3.4.5

اجمع $2$ و $\frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}}$

خطوة 3.4.6

أعِد كتابة $\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $2 (- 2 x^{2} + 9 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{9}}$

خطوة 3.4.6.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

خطوة 3.4.6.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}$

خطوة 3.4.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$

خطوة 3.4.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$