حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} + y$ , $y (0) = 0$

خطوة 1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - y = - x^{2}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x^{2})$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x^{2})$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x^{2} e^{- x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x^{2} e^{- x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x^{2} e^{- x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- x} y = \int - x^{2} e^{- x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = - \int x^{2} e^{- x} d x$

خطوة 7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x)$

خطوة 7.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x)$

خطوة 7.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x))$

خطوة 7.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x)$

خطوة 7.6

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x))$

خطوة 7.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x))$

خطوة 7.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x))$

خطوة 7.8.2

اضرب $\int e^{- x} d x$ في $1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x))$

خطوة 7.9

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 7.9.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.9.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u))$

خطوة 7.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u))$

خطوة 7.11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$

خطوة 7.12

أعِد كتابة $- (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$ بالصيغة $- (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$

خطوة 7.13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}) + C$

خطوة 7.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

خطوة 7.14.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.14.2.1

اضرب $- (- x^{2} e^{- x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.14.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- x} y = 1 (x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

خطوة 7.14.2.1.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

خطوة 7.14.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

خطوة 7.14.2.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) + 2 e^{- x} + C$

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ على $e^{- x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ على $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.1.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.1.2.2

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.1.3.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 9

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ .

$0 = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$ .

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

خطوة 10.2

بسّط $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

خطوة 10.2.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

خطوة 10.2.1.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{1} = 0$

خطوة 10.2.1.4

اقسِم $C$ على $1$ .

$0 + 0 + 2 + C = 0$

خطوة 10.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + 2 + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + 2 + C = 0$

خطوة 10.2.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$2 + C = 0$

خطوة 10.3

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$C = - 2$

خطوة 11

عوّض بـ $- 2$ عن $C$ في $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $- 2$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{- 2}{e^{- x}}$

خطوة 11.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = x^{2} + 2 x + 2 - \frac{2}{e^{- x}}$