حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d f}{d x} = 4 e^{x} + 4 x$ , $f (0) = - 10$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d f = (4 e^{x} + 4 x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d f = \int 4 e^{x} + 4 x d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f + C_{1} = \int 4 e^{x} + 4 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f + C_{1} = \int 4 e^{x} d x + \int 4 x d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = 4 \int e^{x} d x + \int 4 x d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$f + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + \int 4 x d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 4 \int x d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$f + C_{1} = 4 e^{x} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$f + C_{1} = 4 e^{x} + 2 x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$f + C_{1} = 2 x^{2} + 4 e^{x} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$f = 2 x^{2} + 4 e^{x} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $- 10$ عن $f$ في $f = 2 x^{2} + 4 e^{x} + K$ .

$- 10 = 2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K = - 10$ .

$2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K = - 10$

خطوة 4.2

بسّط $2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = - 10$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 10$

خطوة 4.2.1.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = - 10$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$0 + 4 + K = - 10$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$4 + K = - 10$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$K = - 10 - 4$

خطوة 4.3.2

اطرح $4$ من $- 10$ .

$K = - 14$

خطوة 5

عوّض بـ $- 14$ عن $K$ في $f = 2 x^{2} + 4 e^{x} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 14$ .

$f = 2 x^{2} + 4 e^{x} - 14$