حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x^{2} \cdot \sin (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x^{2} \cdot \sin (x)$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2} \cdot \sin (x)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 1}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

خطوة 3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

خطوة 3.2.4

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $\frac{y}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

خطوة 3.2.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

خطوة 3.2.4.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

خطوة 3.2.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

خطوة 3.2.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x^{2} \cdot \sin (x))$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} \cdot \sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \cdot \sin (x)))$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \cdot \sin (x)))$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \cdot \sin (x)$

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \sin (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x \sin (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x \sin (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x} y = \int x \sin (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

خطوة 7.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

خطوة 7.3.2

اضرب $\int \cos (x) d x$ في $1$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

خطوة 7.4

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

خطوة 7.5

أعِد كتابة $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ بالصيغة $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$\frac{1}{x} y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$\frac{y}{x} = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

خطوة 8.2

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- x \cos (x) + \sin (x) + C) x$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (- x \cos (x) + \sin (x) + C) x$

خطوة 8.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (- x \cos (x) + \sin (x) + C) x$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

بسّط $(- x \cos (x) + \sin (x) + C) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - x \cos (x) x + \sin (x) x + C x$

خطوة 8.3.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$y = - (x \cdot x) \cos (x) + \sin (x) x + C x$

خطوة 8.3.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y = - x^{2} \cos (x) + \sin (x) x + C x$

خطوة 8.3.2.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $- x^{2} \cos (x) + \sin (x) x + C x$ .

$y = - x^{2} \cos (x) + x \sin (x) + C x$

خطوة 8.3.2.1.4

انقُل $x \sin (x)$ .

$y = - x^{2} \cos (x) + C x + x \sin (x)$

خطوة 8.3.2.1.5

أعِد ترتيب $- x^{2} \cos (x)$ و $C x$ .

$y = C x - x^{2} \cos (x) + x \sin (x)$