حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 (y + 3) d x - x (y d) y = 0$

خطوة 1

اطرح $2 (y + 3) d x$ من كلا المتعادلين.

$- x y d y = - 2 (y + 3) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x (y + 3)}$ .

$\frac{1}{x (y + 3)} (- x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x (y + 3)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

خطوة 3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{y + 3} y d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{- 1}{y + 3}$ و $y$ .

$\frac{- y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

خطوة 3.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - 2 \frac{1}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

خطوة 3.6

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x (y + 3)}$ .

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

خطوة 3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أخرِج العامل $y + 3$ من $x (y + 3)$ .

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

خطوة 3.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

خطوة 3.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x} d x$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.2

اقسِم $y$ على $y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$3$

$y$

$0$

خطوة 4.2.2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	+	$0$

خطوة 4.2.2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$3$

خطوة 4.2.2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y + 3$

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$

خطوة 4.2.2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$
					-	$3$

خطوة 4.2.2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$- \int 1 - \frac{3}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y + 3} d y)) = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.8

لنفترض أن $u = y + 3$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1

افترض أن $u = y + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1.1

أوجِد مشتقة $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

خطوة 4.2.8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 4.2.8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 4.2.8.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.2.8.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2.8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| u |) + C_{2})) = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.10

بسّط.

$- (y - 3 \ln (| u |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 3$ .

$- (y - 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- y - (- 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.2.12.2

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 4.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 (\ln (| x |) + C_{4})$

خطوة 4.3.5

بسّط.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) = - 2 \ln (| x |) + C$