حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x - \sin (x)$ , $y (π) = 3$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (x - \sin (x)) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x - \sin (x) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x - \sin (x) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int x d x + \int - \sin (x) d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \sin (x) d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - \int \sin (x) d x$

خطوة 2.3.4

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - - \cos (x) + C_{4}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \cos (x) + C_{4}$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $π$ عن $x$ وبـ $3$ عن $y$ في $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ .

$3 = \frac{1}{2} π^{2} + \cos (π) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} + \cos (π) + K = 3$

خطوة 4.2.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (0) + K = 3$

خطوة 4.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 \cdot 1 + K = 3$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 + K = 3$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $\frac{π^{2}}{2}$ من كلا المتعادلين.

$- 1 + K = 3 - \frac{π^{2}}{2}$

خطوة 4.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 3 - \frac{π^{2}}{2} + 1$

خطوة 4.3.3

أضف $3$ و $1$ .

$K = - \frac{π^{2}}{2} + 4$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ عن $K$ في $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$