حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = x^{2} + 8$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = x^{2} + 8$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.3.2.1.4

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اجمع $u^{- \frac{1}{3}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $u^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 2.3.5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

انقُل $u^{\frac{1}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ بالصيغة $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اجمع $2$ و $\frac{3}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 8$ .

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ .

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ .

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $8$ .

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

خطوة 4.2.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

خطوة 4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

خطوة 4.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

خطوة 4.2.6

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$3 \cdot 4 + K = 0$

خطوة 4.2.7

اضرب $3$ في $4$ .

$12 + K = 0$

خطوة 4.3

اطرح $12$ من كلا المتعادلين.

$K = - 12$

خطوة 5

عوّض بـ $- 12$ عن $K$ في $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 12$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$