حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (y + 1) d x = (y^{2} + 1) (x^{2} + 1) d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$(y^{2} + 1) (x^{2} + 1) d y = x (y + 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 1} (y^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{y + 1}$ في $y^{2} + 1$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $y + 1$ من $(x^{2} + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} (x (y + 1)) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y + 1$ من $x (y + 1)$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} x d x$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{1}{x^{2} + 1}$ و $x$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم $y^{2} + 1$ على $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

					$y$
	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$

خطوة 4.2.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$y$

خطوة 4.2.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y^{2} + y$

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$

خطوة 4.2.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$

خطوة 4.2.1.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$

خطوة 4.2.1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$

خطوة 4.2.1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					-	$y$	-	$1$

خطوة 4.2.1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- y - 1$

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					+	$y$	+	$1$

خطوة 4.2.1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					+	$y$	+	$1$
							+	$2$

خطوة 4.2.1.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int y - 1 + \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y d y + \int - 1 d y + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.6

لنفترض أن $u_{1} = y + 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

افترض أن $u_{1} = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 4.2.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 4.2.6.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.2.6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2.6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.7

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 (\ln (| u_{1} |) + C_{3}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.8

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| u_{1} |) + C_{4} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لنفترض أن $u_{2} = x^{2} + 1$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

افترض أن $u_{2} = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 4.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 4.3.1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 4.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 4.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

خطوة 4.3.5

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{5}$

خطوة 4.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{5}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$