حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 1$ , $y (0) = \frac{2}{5}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 d t}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{2 t + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 t}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 1$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 1$

خطوة 2.3

اضرب $e^{2 t}$ في $1$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{2 t}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{2 t}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{2 t} d t$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{2 t} y = \int e^{2 t} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 6.1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 6.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 6.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 6.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

خطوة 6.5

بسّط.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

خطوة 6.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ على $e^{2 t}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ على $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 7.3.1.2

اقسِم $\frac{1}{2}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 8

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $\frac{2}{5}$ عن $y$ في $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$

خطوة 9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{2}{5}$

خطوة 9.2.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

خطوة 9.2.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$\frac{1}{2} + C = \frac{2}{5}$

خطوة 9.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اطرح $\frac{1}{2}$ من كلا المتعادلين.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$

خطوة 9.3.2

لكتابة $\frac{2}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 9.3.3

لكتابة $- \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 9.3.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $10$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.1

اضرب $\frac{2}{5}$ في $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 9.3.4.2

اضرب $5$ في $2$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 9.3.4.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{2 \cdot 5}$

خطوة 9.3.4.4

اضرب $2$ في $5$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{10}$

خطوة 9.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 5}{10}$

خطوة 9.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$C = \frac{4 - 5}{10}$

خطوة 9.3.6.2

اطرح $5$ من $4$ .

$C = \frac{- 1}{10}$

خطوة 9.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$C = - \frac{1}{10}$

خطوة 10

عوّض بـ $- \frac{1}{10}$ عن $C$ في $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $- \frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{10}}{e^{2 t}}$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

خطوة 10.2.2

اضرب $\frac{1}{e^{2 t}}$ في $\frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2 t} \cdot 10}$

خطوة 10.2.3

انقُل $10$ إلى يسار $e^{2 t}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10 e^{2 t}}$