حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 1.2.3

بسّط.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (x)}$

خطوة 1.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{2})}$

خطوة 1.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{2}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

خطوة 2.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

خطوة 2.3

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

خطوة 2.3.2

أضف $2$ و $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{5}$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.3.1.1.2.4

اقسِم $\frac{1}{5} x^{3}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7.3.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $\frac{2}{5}$ عن $y$ في $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

خطوة 9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

خطوة 9.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

خطوة 9.2.3

اقسِم $C$ على $1$ .

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

خطوة 9.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اطرح $\frac{1}{5}$ من كلا المتعادلين.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

خطوة 9.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$C = \frac{2 - 1}{5}$

خطوة 9.3.3

اطرح $1$ من $2$ .

$C = \frac{1}{5}$

خطوة 10

عوّض بـ $\frac{1}{5}$ عن $C$ في $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 10.2.2

اجمع.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

خطوة 10.2.3

اضرب $1$ في $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$