حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 y + t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y + t$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

خطوة 3.3

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

خطوة 3.4

بما أن $t$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $t$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

خطوة 3.5

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $0$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 0$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$1 = 0$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{0 - 1}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y$ .

$\frac{0 - 1}{y}$

خطوة 5.3.2

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{- 1}{y}$

خطوة 5.3.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y$ .

$- \frac{1}{y}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 6.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 6.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

خطوة 6.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط $- \ln (| y |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

خطوة 6.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $y d t + (2 y + t) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $y$ في $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $2 y + t$ في $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 7.4

اضرب $2 y + t$ في $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 1$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

خطوة 12.3

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

خطوة 12.5

أضف $0$ و $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{2 y + t}{y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

خطوة 13.3

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

خطوة 13.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

خطوة 13.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

خطوة 13.5.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

خطوة 13.6

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

خطوة 13.7

بما أن $t$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $t$ خارج التكامل.

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 13.8

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

خطوة 13.9

بسّط.

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$