حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{3 y - 2 y + 5}$ .

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y - 2 y + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 5}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \frac{1}{2 x + 5} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $2 y$ من $3 y$ .

$\int \frac{1}{y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u_{1} = y + 5$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u_{1} = y + 5$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $y + 5$ .

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

خطوة 2.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 5$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 2.2.2.1.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

خطوة 2.2.3

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

خطوة 2.2.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y + 5$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = 2 x + 5$ . إذن $d u_{2} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = 2 x + 5$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.3.1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x + 5$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y + 5 |) = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 2 x + 5 |)$ .

$\ln (| y + 5 |) = \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} + C$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y + 5 |) - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

خطوة 3.3

لكتابة $\ln (| y + 5 |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

خطوة 3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $\ln (| y + 5 |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

خطوة 3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2 - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (| y + 5 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

خطوة 3.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط $\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y + 5 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| y + 5 |}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y + 5 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\frac{\ln ({(y + 5)}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2} = C$

خطوة 3.6.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}) = C$

خطوة 3.6.1.3

بسّط $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({(\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}$ .

$\ln (\frac{{({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 3.6.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1

اضرب الأُسس في ${({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{1}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2

بسّط.

$\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 3.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

خطوة 3.9.2

اضرب كلا الطرفين في ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.9.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.9.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + 5 = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.9.4

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$y = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = C {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$