حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 x y + y^{2}) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 x y + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + y^{2}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x y + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x y + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + x^{2}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 2 x$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 x + 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x + y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x + 2 y = 2 x + y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$3 x + 2 y = 2 x + y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $3 x + 2 y$ .

$\frac{3 x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x + y$ .

$\frac{3 x + 2 y - (2 x + y)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x y + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x y + x^{2}$ .

$\frac{3 x + 2 y - (2 x + y)}{x y + x^{2}}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x + 2 y - (2 x) - y}{x y + x^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3 x + 2 y - 2 x - y}{x y + x^{2}}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $2 x$ من $3 x$ .

$\frac{x + 2 y - y}{x y + x^{2}}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $y$ من $2 y$ .

$\frac{x + y}{x y + x^{2}}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x y + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{x + y}{x (y) + x^{2}}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x + y}{x (y) + x \cdot x}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x (y) + x \cdot x$ .

$\frac{x + y}{x (y + x)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $x + y$ و $y + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x + y}{x (x + y)}$

خطوة 4.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x + y}{x (x + y)}$

خطوة 4.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

خطوة 5.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | x | + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(3 x y + y^{2}) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$ في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $3 x y + y^{2}$ في $x$ .

$(3 x y + y^{2}) x d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x y x + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل $x$ .

$(3 (x \cdot x) y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x y + x^{2}$ في $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) x d y = 0$

خطوة 6.5

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y x + x^{2} x) d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

انقُل $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x \cdot x y + x^{2} x) d y = 0$

خطوة 6.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2} x) d y = 0$

خطوة 6.7

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2} x^{1}) d y = 0$

خطوة 6.7.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2 + 1}) d y = 0$

خطوة 6.7.2

أضف $2$ و $1$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{3}) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} x d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2} x$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} x d x$

خطوة 8.2

بما أن $3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3 y$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} x d x$

خطوة 8.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} x d x$

خطوة 8.4

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} \int x d x$

خطوة 8.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 8.6

بسّط.

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 8.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 8.7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 8.7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = 1 y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 8.7.3

اضرب $y$ في $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 8.7.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 8.7.5

اجمع $y^{2}$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

خطوة 8.8

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y x^{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.3.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.4.2

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.4.3

بما أن $\frac{x^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.4.5

اجمع $2$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.4.6

اجمع $\frac{2 x^{2}}{2}$ و $y$ .

$x^{3} + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.4.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.4.7.2

اقسِم $x^{2} y$ على $1$ .

$x^{3} + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 11.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + x^{2} y = x^{2} y + x^{3}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $x^{3}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + x^{3} - x^{3}$

خطوة 12.1.2

اطرح $x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + x^{3} - x^{3} - x^{2} y$

خطوة 12.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} y + x^{3} - x^{3} - x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

اطرح $x^{3}$ من $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 0 - x^{2} y$

خطوة 12.1.3.2

أضف $x^{2} y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y - x^{2} y$

خطوة 12.1.3.3

اطرح $x^{2} y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

خطوة 13.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$g (y) = 0 + C$

خطوة 13.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (y) = C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

خطوة 15.2

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$