حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x y^{3} + y \cos (x)) d x + (3 x^{2} y^{2} + \sin (x)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x y^{3} + y \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} + y \cos (x)]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y^{3} + y \cos (x)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $\cos (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y \cos (x)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \cos (x) \cdot 1$

خطوة 1.4.3

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \cos (x)$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} + \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} + \sin (x)]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} y^{2} + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \cos (x)$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $6 y^{2} x + \cos (x)$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $6 y^{2} x + \cos (x)$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x + \cos (x) = 6 y^{2} x + \cos (x)$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$6 y^{2} x + \cos (x) = 6 y^{2} x + \cos (x)$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} + \sin (x) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} + \sin (x)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} d y + \int \sin (x) d y$

خطوة 5.2

بما أن $3 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3 x^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 x^{2} \int y^{2} d y + \int \sin (x) d y$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int \sin (x) d y$

خطوة 5.4

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \sin (x) y + C$

خطوة 5.5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{y^{3}}{3} + C) + \sin (x) y + C$

خطوة 5.6

بسّط.

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

خطوة 8.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $y^{3}$ .

$2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

خطوة 8.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\sin (x) y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 y^{3} x + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

خطوة 8.4.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 y^{3} x + y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

خطوة 8.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{3} x + y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

خطوة 8.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} x + y \cos (x) = 2 x y^{3} + y \cos (x)$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $2 y^{3} x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = 2 x y^{3} + y \cos (x) - 2 y^{3} x$

خطوة 9.1.2

اطرح $y \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{3} + y \cos (x) - 2 y^{3} x - y \cos (x)$

خطوة 9.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x y^{3} + y \cos (x) - 2 y^{3} x - y \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $2 x y^{3}$ و $- 2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{3} x + y \cos (x) - 2 y^{3} x - y \cos (x)$

خطوة 9.1.3.2

اطرح $2 y^{3} x$ من $2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 0 - y \cos (x)$

خطوة 9.1.3.3

أضف $y \cos (x)$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) - y \cos (x)$

خطوة 9.1.3.4

اطرح $y \cos (x)$ من $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

خطوة 10.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g (x) = 0 + C$

خطوة 10.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (x) = C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = x^{2} y^{3} + \sin (x) y + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + y \sin (x) + C$