حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{2 x}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$e^{y} d y = 6 e^{2 x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int e^{y} d y = \int 6 e^{2 x} d x$

خطوة 2.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 6 e^{2 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{2 x} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (e^{u} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{2 x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$e^{y} = 3 e^{2 x} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

خطوة 3.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

خطوة 3.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (3 e^{2 x} + K)$

خطوة 3.2.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (3 e^{2 x} + K)$