حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + 4 y \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $x^{3}$ من كلا المتعادلين.

$4 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $4 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$ على $4 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $4 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$ على $4 y$ .

$\frac{4 y \frac{d y}{d x}}{4 y} = \frac{- x^{3}}{4 y}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y \frac{d y}{d x}}{4 y} = \frac{- x^{3}}{4 y}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{3}}{4 y}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{3}}{4 y}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{3}}{4 y}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{4 y}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{3}}{4 y})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{3}}{4 y}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{4 y}$

خطوة 1.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $4 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{y \cdot 4}$

خطوة 1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{y \cdot 4}$

خطوة 1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{4}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = - \frac{x^{3}}{4} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int - \frac{x^{3}}{4} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{3}}{4} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{3}}{4} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{16} x^{4} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{16} x^{4} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{16} x^{4} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{16} x^{4} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{16} x^{4} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{1}{16} x^{4} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $x^{4}$ و $\frac{1}{16}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{4}}{16} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{4}}{16}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{4}}{16}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{16} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{2 (8)} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{2 \cdot 8} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \frac{- x^{4}}{8} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = - \frac{x^{4}}{8} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{8} + 2 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{8} + 2 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لكتابة $2 K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{8} + 2 K \cdot \frac{8}{8}}$

خطوة 3.4.2

اجمع $2 K$ و $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{8} + \frac{2 K \cdot 8}{8}}$

خطوة 3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{4} + 2 K \cdot 8}{8}}$

خطوة 3.4.4

اضرب $8$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{4} + 16 K}{8}}$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة $\frac{- x^{4} + 16 K}{8}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{4} + 16 K}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $- x^{4} + 16 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{4} + 16 K)}{8}}$

خطوة 3.4.5.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{4} + 16 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.5.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (- x^{4} + 16 K)}{2^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{4} + 16 K}{2}}$

خطوة 3.4.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{- x^{4} + 16 K}{2}}$

خطوة 3.4.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{- x^{4} + 16 K}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.4.8

اجمع.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- x^{4} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 3.4.9

اضرب $\sqrt{- x^{4} + 16 K}$ في $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 3.4.10

اضرب $\frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.4.11

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.11.1

اضرب $\frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 3.4.11.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 3.4.11.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

خطوة 3.4.11.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

خطوة 3.4.11.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.11.6

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 3.4.11.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.11.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.11.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.11.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.11.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.11.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.11.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

خطوة 3.4.11.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.4.12

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{4} + 16 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.4.13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.13.1

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{4} + 16 K) \cdot 2}}{4}$

خطوة 3.4.13.2

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(- x^{4} + 16 K) \cdot 2}}{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + 16 K)}}{4}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{4} + K)}}{4}$