حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 4 x + y$

خطوة 1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - y = 4 x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (4 x)$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (4 x)$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 e^{- x} x$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 4 x e^{- x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 4 x e^{- x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 4 x e^{- x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- x} y = \int 4 x e^{- x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = 4 \int x e^{- x} d x$

خطوة 7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

خطوة 7.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

خطوة 7.4.2

اضرب $\int e^{- x} d x$ في $1$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

خطوة 7.5

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 7.5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

خطوة 7.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

خطوة 7.7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

خطوة 7.8

أعِد كتابة $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ بالصيغة $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

خطوة 7.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ على $e^{- x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ على $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.2.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.3

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $C$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- C)}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.6.1

أعِد كتابة $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)$ بالصيغة $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.3.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C}{e^{- x}}$