حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d r}{d t} = 6 t + \sec^{2} (t)$ , $r (- π) = 5$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d r = (6 t + \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d r = \int 6 t + \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$r + C_{1} = \int 6 t + \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$r + C_{1} = \int 6 t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$r + C_{1} = 6 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$r + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.4

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$r + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$r + C_{1} = 6 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$r + C_{1} = 3 t^{2} + \tan (t) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$r = 3 t^{2} + \tan (t) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $- π$ عن $t$ وبـ $5$ عن $r$ في $r = 3 t^{2} + \tan (t) + K$ .

$5 = 3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 5$ .

$3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 5$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- π$ .

$3 ({(- 1)}^{2} π^{2}) + \tan (- π) + K = 5$

خطوة 4.2.1.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$3 (1 π^{2}) + \tan (- π) + K = 5$

خطوة 4.2.1.1.3

اضرب $π^{2}$ في $1$ .

$3 π^{2} + \tan (- π) + K = 5$

خطوة 4.2.1.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن المماس سالب في الربع الثاني.

$3 π^{2} - \tan (0) + K = 5$

خطوة 4.2.1.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$3 π^{2} - 0 + K = 5$

خطوة 4.2.1.1.6

اضرب $- 1$ في $0$ .

$3 π^{2} + 0 + K = 5$

خطوة 4.2.1.2

أضف $3 π^{2}$ و $0$ .

$3 π^{2} + K = 5$

خطوة 4.3

اطرح $3 π^{2}$ من كلا المتعادلين.

$K = 5 - 3 π^{2}$

خطوة 5

عوّض بـ $5 - 3 π^{2}$ عن $K$ في $r = 3 t^{2} + \tan (t) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $5 - 3 π^{2}$ .

$r = 3 t^{2} + \tan (t) + 5 - 3 π^{2}$