حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y + 1) d x - x d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(y + 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$- x d y = - (y + 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y + 1)} (- x) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x (y + 1)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

خطوة 3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x (y + 1)}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y + 1$ من $x (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

خطوة 3.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.2

لنفترض أن $u = y + 1$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

افترض أن $u = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 4.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 4.2.2.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.2.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.4

بسّط.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

اطرح $\ln (| x |)$ من كلا المتعادلين.

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 5.3.2.2

اقسِم $\ln (| y + 1 |)$ على $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 5.3.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

خطوة 5.3.3.1.4

اقسِم $\ln (| x |)$ على $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \ln (| x |)$

خطوة 5.4

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x |) = - C$

خطوة 5.5

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$

خطوة 5.6

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |})} = e^{- C}$

خطوة 5.7

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y + 1 |}{| x |}$

خطوة 5.8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$

خطوة 5.8.2

اضرب كلا الطرفين في $| x |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

خطوة 5.8.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

خطوة 5.8.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y + 1 | = e^{- C} | x |$

خطوة 5.8.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- C} | x |$ .

$| y + 1 | = | x | e^{- C}$

خطوة 5.8.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x | e^{- C}$

خطوة 5.8.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm | x | e^{- C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- C} | x |$

خطوة 5.8.4.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{- C} | x | - 1$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm C | x | - 1$

خطوة 6.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C | x | - 1$