حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = 4$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x$ من $\frac{2 x}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = 4$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $x$ و $\frac{2}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = 4$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = \frac{2}{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (t)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (t^{2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$t^{2}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \cdot 4$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{2}{t}$ و $x$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \cdot 4$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \cdot 4$

خطوة 3.3

انقُل $4$ إلى يسار $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t^{2}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t^{2}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t^{2} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$t^{2} x = \int 4 t^{2} d t$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$t^{2} x = 4 \int t^{2} d t$

خطوة 7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

خطوة 7.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أعِد كتابة $4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ بالصيغة $4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ .

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

خطوة 7.3.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{3}$ .

$t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ على $t^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ على $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $t^{3}$ و $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أخرِج العامل $t^{2}$ من $\frac{4}{3} t^{3}$ .

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

خطوة 8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{\frac{4}{3} t}{1} + \frac{C}{t^{2}}$

خطوة 8.3.1.1.2.4

اقسِم $\frac{4}{3} t$ على $1$ .

$x = \frac{4}{3} t + \frac{C}{t^{2}}$

خطوة 8.3.1.2

اجمع $\frac{4}{3}$ و $t$ .

$x = \frac{4 t}{3} + \frac{C}{t^{2}}$