حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج عامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{x + y}$

خطوة 1.1.2

أعِد ترتيب $\frac{y}{x}$ و $\frac{y}{x + y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.2

اضرب $\frac{y}{x + y}$ في $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}} \frac{y}{x}$

خطوة 1.3

اضرب $\frac{y}{x + y}$ في $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{(x + y) \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x^{1}} + y \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.5

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.6

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.7

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.8

اجمع $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.9.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 1.9.2

اجمع $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V} V$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V} V$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

اضرب $\frac{V}{1 + V} V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

اجمع $\frac{V}{1 + V}$ و $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{1 + V}$

خطوة 6.1.1.1.2

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1} V}{1 + V}$

خطوة 6.1.1.1.3

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1} V^{1}}{1 + V}$

خطوة 6.1.1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1 + 1}}{1 + V}$

خطوة 6.1.1.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{1 + V}$

خطوة 6.1.1.2

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} - V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2

لكتابة $- V$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} - V \cdot \frac{1 + V}{1 + V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.3.1

اجمع $- V$ و $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} + \frac{- V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2} - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.4.1

أخرِج العامل $V$ من $V^{2} - V (1 + V)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.4.1.1

أخرِج العامل $V$ من $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.1.2

أخرِج العامل $V$ من $- V (1 + V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V + V (- (1 + V))}{1 + V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.1.3

أخرِج العامل $V$ من $V \cdot V + V (- (1 + V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - (1 + V))}{1 + V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - 1 \cdot 1 - V)}{1 + V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - 1 - V)}{1 + V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.4

اطرح $V$ من $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - 1)}{1 + V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.5

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1}{1 + V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.5.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 \cdot V}{1 + V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{1 + V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.7

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{x (1 + V)}$

خطوة 6.1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1 + V}{V}$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V} (- \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V} (\frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2

اضرب $\frac{V}{1 + V}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

خطوة 6.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1 + V}{V}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V)}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

خطوة 6.1.4.3.2

أخرِج العامل $1 + V$ من $- (1 + V)$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

خطوة 6.1.4.3.3

أخرِج العامل $1 + V$ من $(1 + V) x$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) (x)}$

خطوة 6.1.4.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

خطوة 6.1.4.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{x}$

خطوة 6.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{x}$

خطوة 6.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1 + V}{V} d V = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1 + V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{1}{V} + \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{V} d V + \int d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4

تكامل $\frac{1}{V}$ بالنسبة إلى $V$ هو $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| V |) + C_{1} + V + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6

بسّط.

$\ln (| V |) + V + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

خطوة 6.2.3.3

بسّط.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$V + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

خطوة 8.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{y}{x} + C$

خطوة 8.3

اضرب $| \frac{y}{x} | | x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{y}{x} + C$

خطوة 8.3.2

اجمع $\frac{y}{x}$ و $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{y}{x} + C$

خطوة 8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{y}{x} + C$

خطوة 8.4.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{y}{x} + C$