حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y + 1) e^{x} d x - (e^{x} + 1) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(y + 1) e^{x} d x$ من كلا المتعادلين.

$- (e^{x} + 1) d y = - (y + 1) e^{x} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (e^{x} + 1)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

خطوة 3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y + 1$ من $(e^{x} + 1) (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $y + 1$ من $(y + 1) e^{x}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) (e^{x})) d x$

خطوة 3.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

خطوة 3.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 1} e^{x} d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{- 1}{e^{x} + 1}$ و $e^{x}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

خطوة 4.2.2

لنفترض أن $u_{1} = y + 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

افترض أن $u_{1} = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 4.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 4.2.2.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.2.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

خطوة 4.2.3

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

خطوة 4.2.4

بسّط.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

خطوة 4.2.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = e^{x} + 1$ . إذن $d u_{2} = e^{x} d x$ ، لذا $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = e^{x} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{x} + 0$

خطوة 4.3.2.1.4.2

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$e^{x}$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 4.3.4

بسّط.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{x} + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C$