حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3}{2} \cdot \frac{d v}{d t} = 13.6 - \frac{1}{2} v$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v}$ .

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $13.6 - \frac{1}{2} v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = 1$

خطوة 1.3

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} \frac{d v}{d t} = 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = 1 d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اجمع $v$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $\frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}}$ في $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{3}{(13.6 - \frac{v}{2}) \cdot 2} d v = \int d t$

خطوة 2.2.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\int \frac{3}{2 (13.6 - \frac{v}{2})} d v = \int d t$

خطوة 2.2.2

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} d v = \int d t$

خطوة 2.2.3

لنفترض أن $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . إذن $d u = - \frac{1}{2} d v$ ، لذا $- 2 d u = d v$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

افترض أن $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d v}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

أوجِد مشتقة $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [13.6 - \frac{v}{2}]$

خطوة 2.2.3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $13.6 - \frac{v}{2}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

خطوة 2.2.3.1.2.2

بما أن $13.6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $13.6$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

خطوة 2.2.3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.3.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، إذن مشتق $- \frac{v}{2}$ بالنسبة إلى $v$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$

خطوة 2.2.3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 2.2.3.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

خطوة 2.2.3.1.4

اطرح $\frac{1}{2}$ من $0$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

خطوة 2.2.4.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d t$

خطوة 2.2.4.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d t$

خطوة 2.2.4.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d t$

خطوة 2.2.4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.4.6

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 2}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3}{2} \int - \frac{2}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{2}{u} d u) = \int d t$

خطوة 2.2.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{3}{2} (- (2 \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

خطوة 2.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- 2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

خطوة 2.2.7.2

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.7.3

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{- 6}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.7.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.7.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.7.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.7.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.7.4.2.4

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- 3 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

خطوة 2.2.9

بسّط.

$- 3 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.2.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.2.11

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = t + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

خطوة 3.1.2.1.2

اقسِم $\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)$ على $1$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

خطوة 3.1.2.2

اجمع $v$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} + \frac{C}{- 3}$

خطوة 3.1.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$

خطوة 3.2

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |)} = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} = | 13.6 - \frac{v}{2} |$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$ .

$| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

خطوة 3.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$13.6 - \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

خطوة 3.4.3

اطرح $13.6$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6$

خطوة 3.4.4

اضرب كلا المتعادلين في $- 2$ .

$- 2 (- \frac{v}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

خطوة 3.4.5

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1

بسّط $- 2 (- \frac{v}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{v}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

خطوة 3.4.5.1.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

خطوة 3.4.5.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

خطوة 3.4.5.1.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

خطوة 3.4.5.1.1.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

خطوة 3.4.5.1.1.2.2

اضرب $v$ في $1$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

خطوة 3.4.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.2.1

بسّط $- 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) - 2 \cdot - 13.6$

خطوة 3.4.5.2.1.2

اضرب $- 2$ في $- 13.6$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) + 27.2$

خطوة 3.4.6

أعِد ترتيب $- \frac{t}{3}$ و $- \frac{C}{3}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{3} - \frac{t}{3}}) + 27.2$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$v = - 2 (\pm e^{C - \frac{t}{3}}) + 27.2$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} + C}) + 27.2$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $e^{- \frac{t}{3} + C}$ بالصيغة $e^{- \frac{t}{3}} e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3}} e^{C}) + 27.2$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب $e^{- \frac{t}{3}}$ و $e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$

خطوة 4.5

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v = - 2 (C e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$