حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x + Y) d x + (2 Y + x) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(2 x + Y) d x$ من كلا المتعادلين.

$(2 Y + x) d y = - (2 x + Y) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 Y + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 d y = - \frac{1}{2 Y + x} (2 x + Y) d x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 d y = (- \frac{1}{2 Y + x} (2 x) - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

خطوة 3.4

اضرب $- \frac{1}{2 Y + x} (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

خطوة 3.4.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

خطوة 3.4.3

اجمع $\frac{- 2}{2 Y + x}$ و $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

خطوة 3.5

اجمع $Y$ و $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{Y}{2 Y + x}) d x$

خطوة 3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$1 d y = \frac{- 2 x - Y}{2 Y + x} d x$

خطوة 3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - Y}{2 Y + x} d x$

خطوة 3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- Y$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - (Y)}{2 Y + x} d x$

خطوة 3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - (Y)$ .

$1 d y = \frac{- (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

خطوة 3.10

أعِد كتابة $- (2 x + Y)$ بالصيغة $- 1 (2 x + Y)$ .

$1 d y = \frac{- 1 (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

خطوة 3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 d y = - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

خطوة 4.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u = 2 Y + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u = 2 Y + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 Y + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y + x]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 Y + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.2.1.3

بما أن $2 Y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 Y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 4.3.2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y) + Y}{u} d u$

خطوة 4.3.3

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} + \frac{Y}{u} d u$

خطوة 4.3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = - (\int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

خطوة 4.3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u - 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

خطوة 4.3.6

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u}{u} + \frac{- 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

خطوة 4.3.7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

خطوة 4.3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

خطوة 4.3.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = - (2 (\int d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

خطوة 4.3.9

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

خطوة 4.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int - \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

خطوة 4.3.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - \int \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

خطوة 4.3.12

بما أن $2 Y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2 Y$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y \int \frac{1}{u} d u)) + \int \frac{Y}{u} d u)$

خطوة 4.3.13

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y (\ln (| u |) + C_{3}))) + \int \frac{Y}{u} d u)$

خطوة 4.3.14

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{Y}{u} d u)$

خطوة 4.3.15

بما أن $Y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $Y$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 4.3.16

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y (\ln (| u |) + C_{4}))$

خطوة 4.3.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.17.1

بسّط.

$y + C_{1} = - (2 u - 4 Y \ln (| u |) + Y \ln (| u |)) + C_{5}$

خطوة 4.3.17.2

أضف $- 4 Y \ln (| u |)$ و $Y \ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 u - 3 Y \ln (| u |)) + C_{5}$

خطوة 4.3.18

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 Y + x$ .

$y + C_{1} = - (2 (2 Y + x) - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

خطوة 4.3.19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.19.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.19.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = - (2 (2 Y) + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

خطوة 4.3.19.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y + C_{1} = - (4 Y + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

خطوة 4.3.19.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = - (4 Y) - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

خطوة 4.3.19.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.19.3.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

خطوة 4.3.19.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

خطوة 4.3.19.3.3

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 (Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) + C_{5}$

خطوة 4.3.20

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C_{5}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C$