حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12$ , $y (1) = 24$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (7 x^{6} - 4 x^{3} + 12) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 7 \int x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int 12 d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int 12 d x$

خطوة 2.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.1

اجمع $\frac{1}{7}$ و $x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7.1.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

$y + C_{1} = x^{7} - x^{4} + 12 x + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $24$ عن $y$ في $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ .

$24 = 1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$ .

$1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

خطوة 4.2

بسّط $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

خطوة 4.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 1 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 - 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $12$ في $1$ .

$1 - 1 + 12 + K = 24$

خطوة 4.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$0 + 12 + K = 24$

خطوة 4.2.2.2

أضف $0$ و $12$ .

$12 + K = 24$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $12$ من كلا المتعادلين.

$K = 24 - 12$

خطوة 4.3.2

اطرح $12$ من $24$ .

$K = 12$

خطوة 5

عوّض بـ $12$ عن $K$ في $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $12$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + 12$