حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - 4 = 8 x^{3} - 3 x^{2}$ , $y (1) = 5$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (8 x^{3} - 3 x^{2} + 4) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int 4 d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 4 d x$

خطوة 2.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

$y + C_{1} = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $5$ عن $y$ في $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ .

$5 = 2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$ .

$2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

خطوة 4.2

بسّط $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 \cdot 1 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

خطوة 4.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 - 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 - 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $4$ في $1$ .

$2 - 1 + 4 + K = 5$

خطوة 4.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $1$ من $2$ .

$1 + 4 + K = 5$

خطوة 4.2.2.2

أضف $1$ و $4$ .

$5 + K = 5$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$K = 5 - 5$

خطوة 4.3.2

اطرح $5$ من $5$ .

$K = 0$

خطوة 5

عوّض بـ $0$ عن $K$ في $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $0$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + 0$

خطوة 5.2

أضف $2 x^{4} - x^{3} + 4 x$ و $0$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x$