حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y)$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

خطوة 1.2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{1}{x + 7} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

خطوة 1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{x + 7}$

خطوة 1.2.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{x + 7}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x + 7}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x + 7} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x + 7} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x + 7} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x + 7} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = x + 7$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = x + 7$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 2.3.2.1.4

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 7$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x + 7 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |) = C$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (| x + 7 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 7 |}^{2}) = C$

خطوة 3.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x + 7 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 7)}^{2}) = C$

خطوة 3.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}})} = e^{C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في ${(x + 7)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 7)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

بسّط $e^{C} {(x + 7)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.1

أعِد كتابة ${(x + 7)}^{2}$ بالصيغة $(x + 7) (x + 7)$ .

$| y | = e^{C} ((x + 7) (x + 7))$

خطوة 3.5.4.1.2

وسّع $(x + 7) (x + 7)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} (x (x + 7) + 7 (x + 7))$

خطوة 3.5.4.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7))$

خطوة 3.5.4.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

خطوة 3.5.4.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

خطوة 3.5.4.1.3.1.2

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7)$

خطوة 3.5.4.1.3.1.3

اضرب $7$ في $7$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 x + 7 x + 49)$

خطوة 3.5.4.1.3.2

أضف $7 x$ و $7 x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 14 x + 49)$

خطوة 3.5.4.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} x^{2} + e^{C} (14 x) + e^{C} \cdot 49$

خطوة 3.5.4.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.5.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + e^{C} \cdot 49$

خطوة 3.5.4.1.5.2

انقُل $49$ إلى يسار $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 \cdot e^{C}$

خطوة 3.5.4.1.6

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C}$

خطوة 3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C})$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm (x^{2} C + 14 x C + C)$