حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d t} = 9 e^{t} - 5$ ; , $x (0) = 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d x = (9 e^{t} - 5) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d x = \int 9 e^{t} - 5 d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C_{1} = \int 9 e^{t} - 5 d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x + C_{1} = \int 9 e^{t} d t + \int - 5 d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$x + C_{1} = 9 \int e^{t} d t + \int - 5 d t$

خطوة 2.3.3

تكامل $e^{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $e^{t}$ .

$x + C_{1} = 9 (e^{t} + C_{2}) + \int - 5 d t$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C_{1} = 9 (e^{t} + C_{2}) - 5 t + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$x + C_{1} = 9 e^{t} - 5 t + C_{4}$

خطوة 2.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$x + C_{1} = - 5 t + 9 e^{t} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$x = - 5 t + 9 e^{t} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $2$ عن $x$ في $x = - 5 t + 9 e^{t} + K$ .

$2 = - 5 \cdot 0 + 9 e^{0} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 5 \cdot 0 + 9 e^{0} + K = 2$ .

$- 5 \cdot 0 + 9 e^{0} + K = 2$

خطوة 4.2

بسّط $- 5 \cdot 0 + 9 e^{0} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- 5$ في $0$ .

$0 + 9 e^{0} + K = 2$

خطوة 4.2.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 + 9 \cdot 1 + K = 2$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $9$ في $1$ .

$0 + 9 + K = 2$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $9$ .

$9 + K = 2$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$K = 2 - 9$

خطوة 4.3.2

اطرح $9$ من $2$ .

$K = - 7$

خطوة 5

عوّض بـ $- 7$ عن $K$ في $x = - 5 t + 9 e^{t} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 7$ .

$x = - 5 t + 9 e^{t} - 7$