حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x} y = e^{- 2 x}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $\frac{2 x + 1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$e^{\int \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2.3.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$e^{\int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{2 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{2 x + C + \ln (| x |) + C}$

خطوة 1.2.6

بسّط.

$e^{2 x + \ln (| x |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 x + \ln (x)}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{2 x + \ln (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} (\frac{2 x + 1}{x} y) = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{2 x + 1}{x}$ و $y$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} \frac{(2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

خطوة 2.2.2

اجمع $e^{2 x + \ln (x)}$ و $\frac{(2 x + 1) y}{x}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

خطوة 2.3

لكتابة $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $e^{2 x + \ln (x)}$ من $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

أخرِج العامل $e^{2 x + \ln (x)}$ من $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

خطوة 2.5.1.2

أخرِج العامل $e^{2 x + \ln (x)}$ من $e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

خطوة 2.5.1.3

أخرِج العامل $e^{2 x + \ln (x)}$ من $e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

خطوة 2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + 1 y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

خطوة 2.5.3

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

خطوة 2.6

اضرب $e^{2 x + \ln (x)}$ في $e^{- 2 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x) - 2 x}$

خطوة 2.6.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x + \ln (x) - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{0 + \ln (x)}$

خطوة 2.6.2.2

أضف $0$ و $\ln (x)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{\ln (x)}$

خطوة 2.7

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$

خطوة 2.8

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y)}{x} = x$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] = x$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] d x = \int x d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{2 x + \ln (x)} y = \int x d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $e^{2 x + \ln (x)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x + \ln (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

خطوة 7.3.1.3

اجمع.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

خطوة 7.3.1.4

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$