حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d v}{d t} = \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$ , $v (0) = 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d v = (\frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d v = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.5

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$v + C_{1} = 8 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $2$ عن $v$ في $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ .

$2 = 8 \arctan (0) + \tan (0) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$ .

$8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $8 \arctan (0) + \tan (0) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$8 \cdot 0 + \tan (0) + K = 2$

خطوة 4.2.1.1.2

اضرب $8$ في $0$ .

$0 + \tan (0) + K = 2$

خطوة 4.2.1.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$0 + 0 + K = 2$

خطوة 4.2.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + K = 2$

خطوة 4.2.1.2.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = 2$

خطوة 5

عوّض بـ $2$ عن $K$ في $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $2$ .

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + 2$