حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ على $x^{2} + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ على $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} y$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} + 1} y)$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{x}{x^{2} + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.3

لكتابة $\ln (| y |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $\ln (| y |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2} = C$

خطوة 3.6.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}) = C$

خطوة 3.6.1.3

بسّط $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 3.6.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2

بسّط.

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

خطوة 3.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

خطوة 3.9.2

اضرب كلا الطرفين في ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.9.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.9.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 = C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ .

$C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$

خطوة 6.2

اقسِم كل حد في $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ على ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ على ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.2.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$C = \frac{1}{{| 0 + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.3.1.2

أضف $0$ و $1$ .

$C = \frac{1}{{| 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.3.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$C = \frac{1}{1^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.3.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$C = \frac{1}{1}$

خطوة 6.2.3.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$C = 1$

خطوة 7

عوّض بـ $1$ عن $C$ في $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $1$ .

$y = 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.2

اضرب ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$y = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$