حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

خطوة 3.2

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

خطوة 3.3

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

خطوة 3.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

خطوة 3.5

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $\arctan (y)$ من داخل المماس.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

خطوة 3.6

أضف $K$ إلى كلا المتعادلين.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

خطوة 3.7

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

خطوة 3.8

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

خطوة 3.9

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $\arctan (y)$ من داخل المماس.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

خطوة 3.10

أضف $K$ إلى كلا المتعادلين.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

خطوة 3.11

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$