حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 4 x + 1$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 3 x^{2} - 4 x + 1 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} - 4 x + 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int d x$

خطوة 2.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + x + C_{4}$

خطوة 2.3.7.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + x + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

$y + C_{1} = x^{3} - 2 x^{2} + x + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} + x + K$