حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y)}{(1 - x)}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 1 - y$ . إذن $d u_{1} = - d y$ ، لذا $- d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 1 - y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.2.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 2.2.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = 1 - x$ . إذن $d u_{2} = - d x$ ، لذا $- d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = 1 - x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.3.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| 1 - y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

خطوة 3.2

اطرح $\ln (| 1 - x |)$ من كلا المتعادلين.

$- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم $\ln (| 1 - y |)$ على $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

خطوة 3.3.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{1}$

خطوة 3.3.3.1.4

اقسِم $\ln (| 1 - x |)$ على $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \ln (| 1 - x |)$

خطوة 3.4

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 - y |) - \ln (| 1 - x |) = - C$

خطوة 3.5

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$

خطوة 3.6

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |})} = e^{- C}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}$

خطوة 3.8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$

خطوة 3.8.2

اضرب كلا الطرفين في $| 1 - x |$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

خطوة 3.8.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| 1 - x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

خطوة 3.8.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 1 - y | = e^{- C} | 1 - x |$

خطوة 3.8.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- C} | 1 - x |$ .

$| 1 - y | = | 1 - x | e^{- C}$

خطوة 3.8.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 - y = \pm | 1 - x | e^{- C}$

خطوة 3.8.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm | 1 - x | e^{- C}$ .

$1 - y = \pm e^{- C} | 1 - x |$

خطوة 3.8.4.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$

خطوة 3.8.4.5

اقسِم كل حد في $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.5.1

اقسِم كل حد في $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.8.4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.8.4.5.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.8.4.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.5.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.8.4.5.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ بالصيغة $- (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.8.4.5.3.1.3

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + 1$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = - (\pm C | 1 - x |) + 1$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = - (C | 1 - x |) + 1$