حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = 8 t + 6 t^{2}$ , $y (1) = 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (8 t + 6 t^{2}) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 8 t d t + \int 6 t^{2} d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 8 \int t d t + \int 6 t^{2} d t$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 6 t^{2} d t$

خطوة 2.3.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 \int t^{2} d t$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اجمع $8$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.3

اجمع $6$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{6}{3} t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{2}{1} t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 2 t^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = 2 t^{3} + 4 t^{2} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $t$ وبـ $2$ عن $y$ في $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ .

$2 = 2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$ .

$2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

خطوة 4.2

بسّط $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

خطوة 4.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 + 4 \cdot 1 + K = 2$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$2 + 4 + K = 2$

خطوة 4.2.2

أضف $2$ و $4$ .

$6 + K = 2$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$K = 2 - 6$

خطوة 4.3.2

اطرح $6$ من $2$ .

$K = - 4$

خطوة 5

عوّض بـ $- 4$ عن $K$ في $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 4$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} - 4$