حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d w}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d w}{d x} = \sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{w}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}})$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{8 x + 1}{x^{2}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{w}$ في صورة $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.2

انقُل $w^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $w^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $w$ هو $2 w^{\frac{1}{2}}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.2

اضرب $(8 x + 1) x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

انقُل $x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 (x^{- 2} x) + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.3.1.2

اضرب $x^{- 2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 (x^{- 2} x^{1}) + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 2 + 1} + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.3.1.3

أضف $- 2$ و $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} + x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.5

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.6

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 (\ln (| x |) + C_{2}) - x^{- 1} + C_{3}$

خطوة 2.3.8

بسّط.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{4}$

خطوة 2.3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$ على $2$ .

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $w^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $8 \ln (| x |)$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{4 \ln (| x |)}{1} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.3.2.4

اقسِم $4 \ln (| x |)$ على $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + 4 \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.4

بسّط $4 \ln (| x |)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.5

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{4}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2}$

خطوة 3.2

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اضرب الأُسس في ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$w^{1} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.2

بسّط.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + C)}^{2}$