حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{4}}{4 e^{y}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{5 x^{4}}{4 e^{y}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $e^{y}$ من $4 e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{5 x^{4}}{e^{y} \cdot 4}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{5 x^{4}}{e^{y} \cdot 4}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{4}}{4}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$e^{y} d y = \frac{5 x^{4}}{4} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int e^{y} d y = \int \frac{5 x^{4}}{4} d x$

خطوة 2.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{5 x^{4}}{4} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{5}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{5}{4}$ خارج التكامل.

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{4} \int x^{4} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{4} (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $\frac{5}{4} (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{5}{4}$ في $\frac{1}{5}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{4 \cdot 5} x^{5} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $4$ في $5$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{20} x^{5} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 (1)}{20} x^{5} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $20$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4} x^{5} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4} x^{5} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{5} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$e^{y} = \frac{1}{4} x^{5} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{5}}{4} + K)$

خطوة 3.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{5}}{4} + K)$

خطوة 3.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{5}}{4} + K)$

خطوة 3.2.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (\frac{x^{5}}{4} + K)$