حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = \sin (8 x)$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $e^{5 x} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{5 x}$ و $g (x) = y$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$e^{5 x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 1.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

خطوة 1.6

اضرب $5$ في $1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \cdot 5)$

خطوة 1.7

انقُل $5$ إلى يسار $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y' + y (5 e^{5 x})$

خطوة 1.8

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y (5 e^{5 x})$

خطوة 1.9

احذِف الأقواس.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y \cdot 5 e^{5 x}$

خطوة 1.10

أعِد ترتيب $y$ و $5$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 \cdot y e^{5 x}$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = \sin (8 x)$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int \sin (8 x) d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{5 x} y = \int \sin (8 x) d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لنفترض أن $u = 8 x$ . إذن $d u = 8 d x$ ، لذا $\frac{1}{8} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

افترض أن $u = 8 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

أوجِد مشتقة $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 5.1.1.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

خطوة 5.1.1.4

اضرب $8$ في $1$ .

$8$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{5 x} y = \int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

خطوة 5.2

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{8}$ .

$e^{5 x} y = \int \frac{\sin (u)}{8} d u$

خطوة 5.3

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

خطوة 5.4

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

خطوة 5.5.2

اجمع $\frac{1}{8}$ و $\cos (u)$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (u)}{8} + C$

خطوة 5.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 x$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (8 x)}{8} + C$

خطوة 5.7

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ على $e^{5 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ على $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اجمع $\cos (8 x)$ و $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (8 x)}{8}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

خطوة 6.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

خطوة 6.3.1.3

اضرب $\frac{1}{e^{5 x}}$ في $\frac{\cos (8 x)}{8}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{e^{5 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{5 x}}$

خطوة 6.3.1.4

انقُل $8$ إلى يسار $e^{5 x}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$